IL TRASFORMATORE PIEZOELETTRICO
Prima di procedere alla individualizzazione del modello del trasformatore piezoelettrico in termini di circuito equivalente, è necessario conoscere il modo di vibrazione meccanica con il conseguente spostamento elettrico all’interno dei materiali piezoelettrici, cioè la loro elettrostrittività. A tale scopo è opportuno tenere presente tutte le equazioni che collegano le varie variabili indipendenti per un sistema costituito da un materiale piezoelettrico polarizzato e sottoposto simultaneamente ad uno stress (Tj) e un campo elettrico (Ei).
Brevemente vengono qui riassunte tutte le equazioni sui sistemi piezoelettrici, scritte nelle varie forme a seconda di quali variabili indipendenti vengano scelte:
In queste equazioni i parametri piezoelettrici sono così collegati:
Per determinare la natura delle vibrazioni meccaniche come risultato dello stress applicato ad una barretta piezoelettrica, bisogna calcolare la forza netta che agisce su di un volume elementare e poi applicare l’equazione del moto di Newton (seconda legge della dinamica) per l’intero volume.
Facendo riferimento alla figura 3.1 e considerando le grandezze in modulo si ha che:
Figura 3.1: Stress applicato ad una barretta piezoelettrica: caso unidirezionale
se si
applica un impulso di intensità T, che è lo stress applicato su di un lato (lato sinistro)
della barretta, allora 
è lo stress che si ha
sull’altro lato (lato destro) della barretta. Quindi la forza netta applicata
sulla sezione di superficie A è:
e, ricordando la
seconda legge della dinamica si ha:
(3.1)
dove u è lo spazio percorso nella direzione x dalla barretta a causa dell’impulso di stress (T) applicato.
A questo punto occorre trovare
una soluzione all’equazione (3.1) insieme alle equazioni: 
per determinare lo
stato di vibrazione di tutto il sistema. A tale scopo bisogna considerare in
quale direzione la barretta piezoelettrica è polarizzata e da quale verso viene
applicata la tensione.
Per quello che interessa il presente studio basta considerare tre casi:
1. Barretta polarizzata in spessore, con tensione alternata applicata sulla stessa direzione della polarizzazione, ma con dimensioni geometriche della barretta tali da esaltare la vibrazione trasversale, trascurando la vibrazione longitudinale (“broad-plate”)
2. Polarizzazione e tensione alternata applicata come nel caso 1, con dimensioni geometriche della barretta tali da esaltare la vibrazione longitudinale rispetto alla trasversale (“side-plated”)
3. Barretta polarizzata in lunghezza con tensione alternata sulla stessa direzione della polarizzazione e dimensioni geometriche tali da esaltare la vibrazione longitudinale (“end-plated”)
Facendo riferimento alla figura 3.2:
Figura 3.2: Barretta broad-plated
Se la vibrazione che si ottiene applicando una tensione alternata di
ampiezza V, è apprezzabile solo in spessore e non in lunghezza e larghezza (è
il caso di una piastra quadrata di spessore t e lato l,
con l
> 10t ), allora dall’equazione 
sostituita
nell’equazione (3.1), per la direzione z,
si ottiene:
[1]
(3.2)
Se la barretta, inoltre, possiede una costante
dielettrica alta (condizione verificata per ceramiche piezoelettriche), si può
assumere che lo spostamento elettrico in direzione z sia nullo, cioè 
e quindi l’equazione
(3.2) si riduce nella seguente equazione:
(3.3)
Tale equazione rappresenta il modo di vibrazione a spostamento elettrico ([D]) costante.
Se la vibrazione, nel tempo, è sinusoidale, si può calcolare la soluzione dell’equazione (3.3):
(3.4)
dove
[2]; B1 e B2
sono da determinare.
Ovviamente applicando una tensione alternata, e quindi provocando una vibrazione nella stessa direzione del campo elettrico, si ottiene un risultato equivalente all’applicazione di una forza di ampiezza F1 e di una forza di ampiezza F2 alle facce della barretta come mostrato in figura 3.2.
- La forza di ampiezza F1 può essere ottenuta
considerando l’equazione (3.4) e l’equazione 
.
Infatti:
a z=0 si avrà:
(3.5)
dove A è la superficie della barretta piezoelettrica (A=wl).
- La velocità dell’onda elastica a z=0, e all’istante t=0, è:
(3.6)
- La velocità dell’onda elastica a z=t , sempre all’istante t=0, è:
(3.7)
Sostituendo B2, utilizzando la (3.6), nella (3.7), si ottiene:
(3.8)
quindi:
(3.9)
Sostituendo l’equazione (3.9) e (3.6) nell’equazione (3.5) si ottiene:
(3.10)
dove [cD ][g]=[h]
Similmente si trova la forza F2:
(3.11)
La relazione tra corrente e spostamento elettrico si può ottenere ricordando che:
e
quindi:
(3.12)
Ora se si definisce:
(3.13)
impedenza meccanica della barretta, equivalentemente a quella di una linea di trasmissione, le equazioni (3.10) e (3.11) diventano:
(3.14)
e
(3.15)
Se ora si considera l’equazione
si ottiene la
relazione che mette insieme campo elettrico, velocità dell’onda elastica e
corrente:
(3.16)
Considerando l’equazione (3.12) si può infine scrivere:
(3.17)
Definendo l’impedenza elettrica:
(3.18)
si può scrivere il set completo di equazioni relativi ai termini meccanici e elettrici:
(3.19)
Se si pensa alla corrente come una quantità analoga alla velocità (nÛI), allora si può disegnare il circuito equivalente della barretta polarizzata in spessore, e con tensione applicata allo stesso verso e direzione di quella della polarizzazione, come mostrato in figura 3.3:
Figura 3.3: Circuito equivalente, alla frequenza di risonanza, di una barretta “broad-plated”
Con:
E’ da tenere presente che senza effetti elettrostrittivi, [F] tende a 0, e il circuito mostrato in figura 3.3 si riduce ad una rete lineare di trasmissione. L’esistenza dell’effetto elettrostrittivo induce una forza distribuita su tutta la barretta e, poiché una forza applicata su di un materiale piezoelettrico induce una tensione ad esso proporzionale, nel circuito equivalente F1 e F2 rappresentano proprio delle tensioni.
Per questo caso si fa riferimento alla figura 3.4:
Figura 3.4: barretta “side-plated”
Le dimensioni della barretta sono tali da far apprezzare la vibrazione esclusivamente lungo l’asse x (è il caso di una piastra rettangolare con l >3,5w e l >3,5t).
Scegliendo come variabili indipendenti [T] ed [E], bisogna considerare le equazioni:
L’equazione del moto di vibrazione longitudinale della barretta può essere scritta, in termini del modulo di Young, come:
Þ
(3.20)
Analogamente al caso precedentemente discusso (barretta “broad-plate”) si ottengono le seguenti equazioni:
(3.21)
Il circuito equivalente corrispondente alle equazioni (3.21), sempre pensando alla corrente come una quantità analoga alla velocità, è rappresentato in figura 3.5:
Figura 3.5: Circuito equivalente alla frequenza di risonanza di una barretta “side-plated”
Con:
Figura 3.6: barretta “end-plated”
La barretta è polarizzata in lunghezza e non ha stress applicati lateralmente, in modo tale che solo lo stress T3 non è nullo; inoltre viene assunto che le componenti laterali D1 e D2 siano nulle. Le assunzioni poste sono molto vicine al vero se la barretta è un parallelepipedo allungato con l >3w e l >3t.
In
base alle ipotesi fatte le equazioni da considerare sono: 
L’equazione del moto sarà:
(3.22)
dove `u è lo spostamento lungo l’asse z.
La
soluzione completa di tutto il sistema è simile a quella del “broad-plate”.
Identificando le costanti 
e 
con h3
e cD3 rispettivamente, si ottiene:
(3.23)
Il corrispondente circuito equivalente è mostrato in figura 3.7:
Figura 3.7: Circuito equivalente alla frequenza di risonanza di una barretta “end-plated”
dove A è l’area della sezione trasversale della barretta e con:
3.3 PERDITE ELETTRICHE E MECCANICHE
Nel precedente paragrafo sono stati ottenuti circuiti equivalenti che descrivono lo stato del sistema costituito da una barretta piezoelettrica, opportunamente polarizzata ed eccitata, senza però tener conto delle perdite meccaniche ed elettriche; se infatti, l’equazione che lega stain e stress, attraverso il modulo di Young, senza perdita meccanica è [T]=[YE][S] (se si considerano le deformazioni che hanno luogo lungo la direzione della forza che provoca lo stress); considerando un termine viscoso di smorzamento, l’equazione diventa:
(3.24)
dove [R] è la costante di smorzamento.
Se lo stress applicato è di tipo sinusoidale, si può scrivere l’equazione (3.24) nel seguente modo:
(3.25)
Così come è stato fatto per l’equazione del moto elastico, si può applicare la stessa procedura per altre equazioni in cui è necessario inserire un termine di perdita di tipo meccanico o elettrico. In questo modo si ottiene un circuito equivalente, per esempio per la barretta “end-plated”, come mostrato in figura 3.8:
figura 3.8: Circuito equivalente alla frequenza di risonanza di una barretta end-plated dove sono state incluse le perdite
con:
E’
da osservare che sono state utilizzate le funzioni iperboliche (nei parametri
del circuito equivalente), generando quindi una semplificazione; tale
semplificazione è giustificata se si considera che le perdite sono molto basse
e risultano apprezzabili solamente in corrispondenza delle frequenze di
risonanza, cioè quando 
con n=1,
2, …. Infatti, se si considerano stress di tipo sinusoidali con perdite
meccaniche, il modulo di Young assume una forma complessa, e quindi la
propagazione dell’onda elastica diventa:
(3.26)
Considerando
inoltre che 
è il fattore di perdita meccanica del materiale si ha che:
(3.27)
da cui:
(3.28)
Quindi, considerando le funzioni iperboliche, si ha:
[3]
(3.29)
dove
Per rendere più leggibile le equazioni si introduce il seguente parametro:
(3.30)
dove
è la fase alla frequenza di risonanza 
.
Sapendo
che 
si
ottiene:
(3.31)
Quindi
per 
si ha:
(3.32)
3.4 Circuiti equivalenti per particolari Configurazioni
Molto spesso, i dispositivi piezoelettrici vengono fatti operare con un estremo libero e l’altro rigidamente fissato su di un supporto. In questi casi il circuito equivalente di tali sistemi si semplifica notevolmente.
Ad esempio, il circuito equivalente della barretta “end-plated” (figura 3.8) si può ridurre come mostrato in figura 3.9:
Figura 3.9: barretta “end-plated” con un estremo libero
A questo punto, utilizzando il teorema sulle reti elettriche di Norton [14], si dimostra che i circuiti mostrati in figura 3.10 sono equivalenti:
Figura 3.10: Circuiti equivalenti secondo Norton
Quindi, se si applica al circuito di
figura 3.9 il teorema di Norton nella parte che è simile a quella di figura
3.10 utilizzando la seguente identità: 
si
ottiene il circuito mostrato in figura 3.11:
Figura 3.11: Circuito equivalente semplificato di una barretta “end-plated” con un estremo libero
Se, similmente, si applica il teorema di Norton al circuito equivalente della barretta “side-plated” (figura 3.5) si ottiene il seguente circuito:
Figura 3.12: Circuito equivalente semplificato di una barretta “side-plated”con un estremo libero
3.5 IL TRASFORMATORE PIEZOELETTRICO TRASVERSALE
Se si uniscono, tramite incollaggio, due barrette piezoelettriche polarizzate l’una trasversalmente e l’altra longitudinalmente, come mostrato in figura 3.13, si ottiene un trasformatore di tensione alternata.[15]
La vibrazione meccanica, provocata da una tensione alternata di input, della parte chiamata driver, fa sì che la parte chiamata generatore si metta a vibrare e produca una tensione che risulta essere della stessa frequenza ed in fase, ma di ampiezza molto superiore rispetto alla tensione di input.
Figura 3.13: Trasformatore piezoelettrico trasversale
L’obiettivo di questa tesi è quello di realizzare un trasformatore piezoelettrico trasversale costituito da un’unica barretta. All’interno di essa, dovranno essere realizzate due differenti polarizzazioni, in modo da poter individuare, anche in questo caso, un driver e un generatore.
Ovviamente la parte centrale della barretta sarà assimilabile al contatto ottenuto per incollaggio di due barrette, ma driver e generatore risulteranno sicuramente meglio accoppiati tra loro e quindi tutto il sistema trarrà vantaggio sia dal punto di vista del rendimento, sia dal punto di vista del guadagno in tensione. E’ da tenere presente che questa zona centrale avrà un volume circa uguale a quello ottenuto per incollaggio (si sostituisce alla colla lo stesso materiale di cui è costituita la barretta), ed inoltre in questa zona la barretta rimane non polarizzata.
Il trasformatore piezoelettrico ha buone caratteristiche per lavorare in alta tensione e bassa corrente, requisiti fondamentali per il circuito di alimentazione di molti dispositivi funzionanti ad alta tensione, come i tubi catodici o acceleratori di particelle in generale.
3.6 CIRCUITO EQUIVALENTE DEL TRASFORMATORE CERAMICO
Consideriamo la figura 3.14:
Figura 3.14: Trasformatore piezoelettrico: geometria ideale
Il trasformatore proposto in figura 3.14, ha una geometria particolare [16]: generatore e driver, oltre ad essere polarizzati diversamente, hanno dimensioni differenti e, in particolare, le loro lunghezze (L e L’) sono proporzionali alla lunghezza d’onda e quindi alla frequenza di risonanza di ogni singola parte. La frequenza di risonanza fondamentale dipende fondamentalmente dallo spessore del driver, ma la vibrazione si verifica su tutta la lunghezza della barretta; la frequenza di funzionamento del trasformatore è, quindi, uguale alla frequenza dell’onda risultante dallo strain elastico subito sia dal generatore sia dal driver.
E’ da osservare che la barretta che costituisce il trasformatore ha gli estremi liberi, e un elettrodo del driver è utilizzato come la massa comune tra driver e generatore, per cui si può ottenere il circuito equivalente ideale (se applichiamo una tensione alternata con frequenza uguale alla frequenza di risonanza del trasformatore) di tale dispositivo dai circuiti equivalenti delle barrette “side-plated” ed “end-plated”, come mostrato in figura 3.15:
Figura 3.15: Circuito equivalente del trasformatore trasversale
Nella figura 3.15 sono state fatte le seguenti modifiche rispetto alla semplice unione dei circuiti equivalenti tra driver e generatore:
1. Le
impedenze che prima erano espresse in termini di 
ora sono rappresentate dalle reattanze 
e 
2. Il circuito equivalente proposto è riferito ad un trasformatore, come mostrato in figura 3.14, in cui generatore e driver hanno differenti sezioni trasversale: proprio la non perfetta uguaglianza tra le sezioni permette l’esatta uguaglianza dell’impedenza acustica delle due sezioni. Questa particolare geometria del trasformatore permette di disegnare una rete elettrica simmetrica e quindi poter effettuare un’analisi semplificata.
I parametri del circuito di figura 3.15 sono così definiti:
| Sezione driver | Sezione generatore | ||
 |
(3.33) |  |
(3.39) |
 |
(3.34) |  |
(3.40) |
 |
(3.35) |   |
(3.41) |
 |
(3.36) | |
(3.42) |
 |
(3.37) |  |
(3.43) |
 |
(3.38) |  |
(3.44) |
Poiché l’impedenza acustica e la lunghezza d’onda devono essere uguali sia nel generatore sia nel driver si deve avere che:
(3.45)
(3.46)
Quindi:
1. Considerando la (3.45), dall’uguaglianza tra la (3.37) e la (3.43), si ottiene:
(3.47)
ricordando che
(3.48)
e assumendo[4]
(3.49)
si ricava:
(3.50)
2. Considerando la (3.46), dall’eguaglianza tra la (3.35) e la (3.41) e ricordando la (3.48) e la (3.49), si ottiene:
(3.51)
A
questo punto si può osservare che il generatore si riduce in sezione di un
fattore 
e
si allunga di un fattore 
rispetto al driver.
Materiali
che hanno una buona piezoelettricità hanno un 
e quindi il generatore si riduce in
sezione di un fattore 0.8 e si allunga di un fattore 1.25
rispetto al driver.
Usando le equazioni (3.45), (3.46), (3.50), (3.51) e le equazioni (3.33) e (3.44) si ottengono:
(3.52)
(3.53)
(3.54)
(3.55)
(3.56)
(3.57)
Dalla relazione (3.49) e dalle (3.36) e (3.37) si ottiene:
(3.58)
(3.59)
A
questo punto si conoscono tutti i parametri necessari del circuito equivalente
per il trasformatore di geometria ideale mostrato in figura 3.14. Rispetto al
trasformatore ideale, se si lasciano uguali le sezioni trasversali del
generatore e del driver, la variazione dei valori nei parametri nel circuito
equivalente è minima ed influisce in modo non rilevante nel guadagno in
tensione. In particolare la curva che mette in relazione le tensioni di input e
output si discosterà da quella ideale di qualche mV all’aumentare della tensione di input. D’altra parte, si
ricorda che la sezione del generatore dovrebbe essere inferiore a quella del
driver per un coefficiente pari a 
;
ad esempio se WT=3x2 [mm2] e
k33=0.6, allora W'T'= 6x0.8 = 4.8 [mm2].
Per
quanto riguarda le lunghezze: L' deve
essere 
, ma
questa è una condizione facilmente realizzabile.
3.7 SEMPLIFICAZIONI DEL CIRCUITO EQUIVALENTE DEL TRASFORMATORE
Facendo una trasformazione topologica da “T” a “p”del circuito [17] di figura 3.15 si ottiene il circuito mostrato in figura 3.16.
Figura 3.16: Circuito equivalente a p del trasformatore piezoelettrico trasversale
Con
Rg resistenza interna di Eg
Nel circuito di figura 3.6 è stata applicata una resistenza di carico RL , inoltre è possibile individuare 3 sezioni del circuito:
1. Sezione di input [00:aa]
2. Sezione meccanica [aa:bb]
3. Sezione di output [bb:ll]
Usando un’appropriata trasformazione, le reti delle sezioni elettriche (sezione di input e sezione di output) possono essere riferite alla sezione meccanica, dando luogo di conseguenza ad una notevole semplificazione.
Nella figura 3.17 è mostrata la trasformazione della sezione di input, e nella figura 3.18 la trasformazione della sezione di output:
Figura 3.17: Trasformazione della sezione di input
Figura 3.18: Trasformazione della parte di output
Nelle figure 3.17 e 3.18 sono da considerare i seguenti parametri:
per la sezione di input
per la sezione di output
3.8: Efficienza, potenza e frequenza di lavoro
Combinando i circuiti equivalenti delle figure 3.16, 3.17 e 3.18 si ottiene il seguente circuito:
Figura 3.19: Circuito equivalente risultante del trasformatore trasversale con parametri riferiti alla sezione meccanica
Applicando il teorema di Thevenin al circuito di figura 3.19 si ottiene:
Figura 3.20: Circuito equivalente applicando Thevenin al circuito di figura 3.19
Tenendo presente il circuito mostrato in figura 3.20 si possono facilmente calcolare l’efficienza, la tensione trasformata e la potenza trasferita del trasformatore.
La massima potenza ottenibile si ha quando l’impedenza d’ingresso è uguale al complesso coniugato dell’impedenza d’uscita: Zi = Z*0
Quindi se Zi=2R+R1+j(2x+X1) è l’impedenza d’ingresso e Zo=R2+jX2 è l’impedenza d’uscita, allora deve essere:
2R+R1+j(2X+X1)=R2-jX2 (3.60)
Siccome il trasformatore funziona in una delle sue frequenze di risonanza quando cioè ha massima resistenza, in queste condizioni si avrà:
2X-X1+X2=0 (3.61)
Per X=2pZ0r con
si ottiene:
(3.62)
La (3.62) esprime la frequenza in cui si ha massima resistenza e quindi a tale frequenza si può avere massima potenza trasferita espressa nella seguente equazione:
R2=2R+R1 (3.63)
Quando si ha massima potenza trasferita l’efficienza è del 50% ed è così definita:
(3.64)
L’impedenza d’ingresso si ottiene eseguendo le trasformazioni mostrate in figura 3.21:
figura 3.21: Determinazione dell’impedenza d’ingresso
dove 
Il guadagno di tensione è definito come il rapporto tra la tensione d’uscita e quella d’ingresso.
Facendo riferimento al circuito di figura 3.20, la potenza dissipata dal carico è:
P = |I|2R2 (3.65)
inoltre la frequenza di funzionamento in questa situazione è sempre quella di risonanza per cui si ha sempre 2X-X1+X2=0, ed il guadagno in tensione vale:
(3.66)
Se la tensione sul driver è mantenuta costante in ampiezza e si ipotizza idealmente che Rg=R1=0, l’equazione (3.66) diventa:
(3.67)
Quindi sotto le ipotesi di avere massima tensione ottenibile in output con una tensione mantenuta costante in ampiezza e frequenza (che è quella di funzionamento del trasformatore) sul driver, si può calcolare:
1. Il guadagno di tensione a vuoto (Av0) cioè senza carico
2. Il guadagno di tensione per ottenere massima potenza in uscita (con un carico RL)
3. Il guadagno di tensione per avere massima efficienza (con un carico RL1)
Il guadagno di tensione a vuoto è:
(3.68)
Nell’espressione (3.68), sostituendo Y, f, XeR e R e sapendo che:
(3.69)
dove cE
è la velocità di propagazione dell’onda acustica a campo elettrico costante:
, e ricordando che
dove
si ottiene:
(3.70)
Il risultato ottenuto nella (3.70) indica chiaramente che il guadagno di tensione a vuoto dipende dal Qm e dalle proprietà piezoelettriche del trasformatore ma anche dal rapporto tra lunghezza e spessore del driver.
Il guadagno di tensione per ottenere massima potenza in uscita è circa uguale alla metà del guadagno di tensione a vuoto:
(3.71)
Il guadagno di tensione per ottenere massima efficienza si ottiene dalla seguente espressione [16]:
(3.72)
3.11 PROCEDURA PER LA DEFINIZIONE DELLA GEOMETRIA DEL TRASFORMATORE
Si faccia riferimento alla figura 3.22:
Figura 3.22: trasformatore piezoelettrico: definizione delle dimensioni
Per determinare le dimensioni L, L’, T e W bisogna considerare innanzi tutto quale è la massima tensione che il generatore può produrre mantenendo isolamento tra gli elettrodi del driver e lungo tutta la lunghezza del trasformatore.
Assumendo che questo campo elettrico sia K[5] possiamo determinare la minima lunghezza del driver:
(3.73)
Si noti che, così facendo si determina la massima tensione ottenibile in uscita (Vo)
Dalla relazione (3.50) si determina L’.
Conoscendo L e L’ e quindi LTOT si riesce a determinare anche la frequenza di funzionamento del trasformatore.
Infatti:
LTOT=L+L’ (3.74)
(3.75)
dove Vtr è la velocità dell’onda elastica all’interno del materiale;
(3.76)
è la frequenza di funzionamento del trasformatore.
Considerando ora l’espressione (3.70), cioè imponendo il guadagno a vuoto che si desidera ottenere, si può ricavare T:
(3.77)
La larghezza (W) si può ottenere dalla seguente espressione [16]:
(3.78)
Si noti che anche la larghezza (W) dipende dal carico (RL), oltre che dalla lunghezza (L) del driver e dallo spessore (T).
Per completezza della trattazione si riportano anche l’impedenza d’ingresso e l’induttanza risonante, anch’essi dipendenti dalla geometria del trasformatore:
[1] Applicando uno sforzo T (stress) lungo l’asse z ottengo una deformazione S (strain) sempre lungo z: cioè ottengo un’accelerazione lungo l’asse z
[2] si
ricorda che 
è la velocità di
propagazione della vibrazione all’interno della barretta in direzione i.
[3]
E’ stato considerato 
Þ
sinh(al)@al
e cosh(al)@1
[4] k33 è compreso tra 0.4 e 0.7 per i PZT Þ k332 è compreso tra 0.16 e 0.49 Þ (1-k332)-1 è compreso tra 1.18 e 1.9
[5] In generale, per materiali piezoelettrici si considera K=20000 [V/m]